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Partie et
Entier (homonymie).
En Mathématiques, la fonction partie entière est la fonction définie de la manière suivante :
- Pour tout Nombre réel x, la partie entière, notée E(x), ou ⌊ x ⌋ , est le plus grand Entier relatif inférieur ou égal à x. Il s'agit de l'unique entier relatif tel que soit vérifié :
E (x) ≤ x < E (x) + 1 - Par exemple : E(2,3) = 2, E(−2) = −2 et E(−2,3) = −3.
Propriétés
Continuité
La fonction partie entière n’est pas
continue, mais est
continue à droite. En fait, pour tout
k entier relatif, la fonction partie entière est continue sur l'intervalle k;k+1[. Quand
x → k, on a bien
x ≥ k et on a toujours :
E (x) = k. Pour
x=k, on a toujours
E(x)=k, donc la partie entière est continue à droite en
k. Quand
x → k+1, tant que
x < k+1, on a
E (x) = k, mais si
x → k+1 avec
x ≥ k+1, d'après ce qui est écrit ci-dessus, on a
E (x) = k+1, donc la partie entière n'est pas continue en k+1 à gauche.
Relations
- L’arrondi à l’entier le plus proche d’un réel x peut être exprimé par E(x + 0,5) = E(2x) - E(x).
- Pour tout k ∈ N et et pour tout nombre réel x, on a
⌊ x + k ⌋ = ⌊ x ⌋ + k
- Pour tout x ∈ R et n ∈ N \ {0 } , on a :
n - 1
Σ
k = 0 | ( | x+ | k
––
n | ) | = E (nx) |
- Pour tout x ∈ R, pour tout n ∈ N \ {0 } entier, on a :
0 ≤ E (nx) - nE(x) ≤ n-1
- Pour tout x ∈ R, pour tout n ∈ N \ {0 } entier, on a :
E (x) + E (-x) = -1 si x ∈ Z
E (x) + E (-x) = -1 si x ∈ R \ Z
- On en déduit que si m et n sont des entiers naturels premiers entre eux alors
n - 1
Σ
k = 1 | ⌊ | k m
–––––
n | ⌋ = | (m - 1)(n - 1)
–––––––––––––––––––
2 |
Partie entière par excès
Définition
Une autre fonction mathématique du même type est la fonction « plafond » ou
partie entière par excès ou partie entière supérieure (
ceiling en anglais), définie de la manière suivante :
- Pour tout nombre réel x donné, la partie entière supérieure de x, notée ⌈ x ⌉ ou P(x), est le plus petit entier supérieur ou égal à x. C'est l'unique entier relatif tel que :
⌈ x ⌉ -1 < x ≤ ⌈ x ⌉ . - Par exemple : P(2,3) = 3, P(2) = 2 et P(−2,3) = −2.
Propriétés
Les deux parties entières, inférieure et supérieure sont liées par :
⌈ x ⌉ = - ⌊ -x ⌋
Pour tout entier relatif k, on a aussi l’égalité suivante :
⌊ k / 2 ⌋ + ⌈ k / 2 ⌉ = k.
Partie décimale
Définition
La
partie décimale de
x est ainsi définie :
D (x) = x - E (x)
Elle est en fait égale au développement décimal de x. Par exemple, D(2,575) = 0.575 et D(3)=0 (car 3=3,0). Pour tout x réel, comme on a : E (x) ≤ x < E (x) + 1, on a également 0 ≤ x-E (x) < 1, donc finalement 0 ≤ D (x) < 1.
Propriétés
Continuité
Soit
k un entier relatif. Comme la partie entière est continue en [k, k+1[ et continue en
k à droite et non continue en
k+1 à gauche, la partie décimale possède la même continuité, par somme de fonctions continues sur cet intervalle.
Relations
- D'après la propriété ⌊ x + k ⌋ = ⌊ x ⌋ + k, on obtient E (x+1) = E (x)+1 et en soustrayant x+1 au deux membres, on obtient : D (x+1) = D (x), donc la partie décimale est 1-périodique. Par récurrence, on obtient que pour tout n entier, D (x+n) = D (x).